7. Die Lernkurve und ihre theoretische Begründung

7.1 Ursachen der Krümmung

Aus (mindestens) vier einleuchtenden Gründen wächst die Kompetenz Dp immer weniger während gleichlanger Zeitspannen Dt typischen Lernens (d. h. während eines Klassenunterrichts oder während einer gleichförmigen Wiederholung derselben Lerngelegenheiten, z. B. während des mehrfachen Ansehens desselben Lehrfilms):

  1. Die Lerner ermüden. (Im Extremfall eines traumlosen Schlafes wird ja nichts gelernt, die Kompetenz p bleibt also konstant.)
  1. Die Schüler verlieren ihr Interesse. (Im extremen Fall konzentriert sich ein Kind auf ein mitgebrachtes Spielzeug; dann perzipiert es zwar die Worte des Lehrers, beachtet sie aber nicht, denn sein Akkomodator filtert sie aus, bewirkt also nicht ihre Apperzeption, so daß ihre Lernwahrscheinlichkeit a = 0 wird.)
  1. Beim Lernen weiteren Lehrstoffs vergessen die Schüler einen zufälligen Teil des schon gelernten Lehrstoffs. (Wenn im Extremfall mehr Vokabeln rasch gelernt werden sollen, als das Kurzgedächtnis speichern kann, dann kommt es unvermeidlich vor, daß eine neue Vokabel beim Einlernen eine zuvor gespeicherte Vokabel verdrängt.)
  1. Während des Lernens wächst ja der Prozentsatz p des Lehrstoffs, der schon gelernt, also nicht mehr lernbar ist; von Wiederholung zu Wiederholung (deren Dauer t konstant bleibt) wächst also der Zeitanteil pt, während dem nichts mehr gelernt werden kann. (Vgl. Bild 6.7.)

7.2 Anwendung der analytischen Methode

Es ist kennzeichnend für die sog. cartesische oder analytische Forschungsmethode (die 1637 der französische Philosoph und Begründer der analytischen Geometrie, René Descartes, ausdrücklich vorschlug), daß sie nach einer Trennung der Schwierigkeiten strebt, um nacheinander die einzelnen, einfacheren Teilprobleme zu lösen. Dazu hilft die Vereinfachung der Realität durch ein Modell, das vorläufig diese oder jene Schwierigkeit ausklammert. Die Methode empfiehlt, erst anschließend die komplexe Realität durch Kombination der analysierten Teile und der idealisierenden Aspektezu rekonstruieren. So analysierte z.B. der Physiker Galileo Galilei (ein Zeitgenosse von Descartes) erfolgreich den realen Fall eines Steins oder eines welken Blatts in - einerseits - einen gleichschnellen, von der Bremswirkung der Luft freien Fall und - andererseits - in die ungleiche Wirkung jener Bremskraft.

Die Kybernetik, insbesondere die Informationspsychologie und die Bildungskybernetik, hoffen auf einen ähnlichen Erfolg der cartesischen Methode bei der Erforschung informationeller (geistiger) Erscheinungen. Das informationspsychologische Organogramm (Bild 4.5) zerlegt "den Geist" in einfachere Teile, und die Formel (4.1) modelliert idealisierend, also vereinfachend, das Vergessen, indem sie von einem anderen Aspekt der realen Unterrichtssituation absieht: vom gleichzeitigen Lernprozeß. Dagegen abstrahiert das durch Bild 6.3 dargestellte Lernmodell vom Vergessen - und auch von möglichen Änderungen von a: also von den drei ersten der erwähnten Ursachen des verzögerten Lernfortschritts. Wir konzentrieren uns auf die vierte, indem wir eine Lernfunktion als ein mathematisches Gesetz suchen, welches unter den idealisierenden Bedingungen genau gilt, die für das vereinfachende ALZUDI-Lernmodell gemacht wurden.
Die zu findende Lernfunktion beschreibt den wirklichen Lernfortschritt selbstverständlich nur ungenau - ebenso wie das Fallgesetz von Galilei nur ungenau den realen Fallvorgang beschreibt. Aber die cartesische Methode unterstellt, daß durch eine Kombination der Gesetze, die für verschiedene Ideal(Grenz-)fälle gelten, also: durch zunehmend "realistischere" Modelle, man einer genauen Erklärung der Wirklichkeit immer näher kommt.

7.3 Die Lernfunktion im Falle der Lernsteuerung.

Das Spielwürfelmodell (Bild 6.2) macht klar, daß die Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ..., pn des schon eingetretenen Lernerfolgs, also die Kompetenz, deren Erreichen nach spätestens 1, 2, ..., n Lerngelegenheiten erwartet werden darf,immer langsamer steigt. Ist p0 = 0, zeigen also alle Spielwürfel am Anfang eine nichtbeschriftete Seite (was die Anfangsinkompetenz u0 = 1 modellmäßig darstellt), und ist in Übereinstimmung mit Bild 6.3 die Lernwahrscheinlichkeit a (im Spielwürfelmodell: 1/6) konstant (also die besten Spielwürfel nicht aus weichem Lehm bestehen), dann ist höchstwahrscheinlich der Prozentsatz u1 = 1-a = u0(1-a) der Spielwürfel nach dem ersten Wurf noch in diesem Zustand, nach dem zweiten Wurf dieser Würfel (die anderen berührt man nicht mehr) wird es sich noch um u2(1-a) = u0(1-a)2 handeln, und nach n solchen "Lerngelegenheiten" um

(7.1) un = un-1(1-a) = u0(1-a)n

Bild 7.1 legt dieses Gesetz für den Spezialfall u0 = 1 und a = 0,2 nahe. Bei jeder Lerngelegenheit geht also aufgrund von Lernen 20% von dem, was sich noch im Zustand U befand, in den Zustand G über. Dies kann man auf zweierlei Weise interpretieren:

In G befindet sich immer der komplementäre Prozentsatz

  1. pn = 1 - un = 1 - u0(1-a)n = 1 - (1-p0)(1-a)n
Das Bild weckt die Vorstellung von einer nichtlinearen Abnahme der Unkenntnis un. Man könnte eine Lernkurve durch die aufeinanderfolgenden Eckpunkte der gleichabständigen Rechtecke zeichen, die den Umfang des Rests darstellen, der sich im Augenblick im Zustand U bzw. G befindet. Die Gleichabständigkeit der Rechtecke spiegelt die konstante Zeit t wieder, die für jede Darbietung des Lehrstoffs, also beispielsweise für die Dar

Bild 7.1: Erklärung der idealen, probabilistischen Lernfunktion aufgrund des ALZUDI-Lernmodells. (Nach Frank, 1984, S. 53)

bietung der 18 Vokabeln von Bild 6.4, nötig ist. Ein solcher Unterrichtstyp wird "Lernsteuerung" genannt. Diese ist kennzeichnend für den üblichen Klassenunterricht und für das wiederholte Ansehen z.B. eines Lehrfilms. Jedoch kann ein einzelner Schüler Vokabeln durch "Lernregelung" mit weniger Zeitaufwand lernen: wenn er sich vor jeder Wiederholung testet und die bereits gelernten Vokabeln ausscheidet. (In einigermaßen großen Klassen hilft diese "Rückkoppelung" durch Teste kaum, die Wiederholung abzukürzen, denn bei den verschiedenen Schülern verbleiben zufallsmäßig unterschiedliche Wissenslücken.) Nur für Lernsteuerung, also für gleichbleibendes t, kann die (unter den Bedingungen des ALZUDI-Lernmodells sowohl für Lernsteuerung als auch für Lernregelung gültige) Lernfunktion 7.1 bzw. 7.2 in eine gleichartige Funktion der Zeit

  1. t = nt

transformiert werden. Nur unter dieser Bedingung kann man im Exponenten die Zahl n der eingetretenen Lerngelegenheiten durch t/t ersetzen; der Index n zeigt ja nur den Meßzeitpunkt der (In)Kompetenz an, ist also nur ein Name, der unmittelbar durch die Zeitangabe t für denselben Meßzeitpunkt ersetzt werden kann. Das Ergebnis lautet

(7.4) ut = u0(1-a)t/t

Mit der Abkürzung

(7.5) L = t-1 ln (1-a)-1

kann man der Gleichung (7.4) - bzw. (7.2) - auch folgende Form geben:

(7.6a) ut = u0e-Lt

(7.6b) pt = 1 - (1-p0)e-Lt

Mit L fanden wir eine Alternative für das Messen der Lernleichtigkeit: wie l = a/t steigt auch L mit wachsendem a und fällt mit wachsendem t. Man beweist leicht, daß L die Steigung der Lernkurve (7.6b) im Ursprung für den Fall p0 = 0 ist. Da l ja die Steigung der Sehne im ersten Zeitintervall ist (vgl. Bild 6.5), gilt offensichtlich

(7.7) L = (1+d)l > l, d = L/l - 1 > 0

Für kleine a (undt) ist offensichtlich die Differenz zwischen den beiden Maßen der Lernleichtigkeit klein, so daß gilt

(7.8) L l

Ist die zur einmaligen Darbietung des Lehrstoffs bei Lernsteuerung benötigte Zeit t gleichbleibend, dann hängen offensichtlich beide Maße der Lernleichtigkeit nur von der Lernwahrscheinlichkeit a ab, so daß auch dieses die Lernleichtigkeit mißt. Bild 7.2 zeigt die Lernfunktion (7.2) für feste Anfangskompetenz und mit der Lernwahrscheinlichkeit a als Parameter, also die Lernfunktion in Abhängigkeit von der Lernleichtigkeit. Durch Eintragung in ein einfaches logarithmisches Koordinatensystem kann man die Lernkurvenschar von Bild 7.2 in ein Geradenbündel verwandeln. Durch beidseitiges Logarithmieren in (7.6a) erkennt man nämlich, daß der Logarithmus der Inkompetenz linear von der Zeit abhängt, wobei die Lernleichtigkeit das Gefälle ist. Man benötigt also ein Koordinatensystem, bei welchem auf der logarithmisch geteilten Ordinate die Werte für u, auf der linear geteilten Abszisse jene für t eingetragen werden (Bild 7.3).

Bild 7.2: Ideale probabilistische Lernfunktionen mit verschiedenen Werten der Lernwahrscheinlichkeit a (also der Lernleichtigkeit) als Scharparameter.

Bild 7.3: Die Lernfunktionen von Bild 7.2 in einem einfach logarithmischen Koordinatensystem.

Übungsaufgaben

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