Teil II: Kybernetische Model-lierung

Teil II: Kybernetische Model-lierung

6. Lernwahrscheinlichkeiten von Vokabeln bei passivem und (auch) aktivem Sprach-erwerb

6.1 Sinn einer probabilistischen Lernmodellierung.

Von all dem, was während der Gegenwartsdauer T (bei Erwachsenen etwa 10 sec - vgl. Bild 4.7) in den Kurzspeicher gelangt und dort (höchstens) so lange bewußt bleibt, gelangt nur ein kleiner Teil einstweilen auch in das vorbewußte Gedächtnis und kann daher später (durch Perseveration oder Assoziation) erneut bewußt werden. Mit anderen Worten: nicht alles, was apperzipiert wird, wird auch (auswendig) gelernt. Wenn kein Gesetz bekannt ist (weil vielleicht keines existiert), welches vorauszusehen ermöglicht, daß dieses aber nicht jenes der während der innerhalb der Zeit T apperzipierten Elemente einstweilen auch gelernt wird, dann ist für jedes dieser Elemente das Gelerntwerden zwar möglich, aber nicht sicher. Der Grad der "Möglichkeit" wird allgemein durch die Wahrscheinlichkeit bestimmt. Sie liegt zwischen 0 (= 0%) und 1 (= 100%). Die Lernwahrscheinlichkeit 0 < a < 1 ist also speziell ein Maß dafür, wie sehr die Erwartung berechtigt ist, daß ein Lernen, das in einer bestimmten Situation möglich ist, auch tatsächlich eintritt. Es ist unerheblich, ob wir (wie die Mehrheit der Christen) zum philosophischen Indeterminismus neigen, der behauptet, zumindest die Funktion des menschlichen Geistes sei wenigstens keine strikte Folge von Ursachen, vielmehr existiere daß eine gewisse "Willensfreiheit", - oder ob wir im Gegenteil (wie z.B. die Buddhisten) als philosophische Deterministen unterstellen, daß wir, nach festliegenden Gesetzen, in einem bestimmten Zustand auf eine bestimmte Ursache stets "automatisch" reagieren. Da nicht sowohl der Zustand als auch die Ursache als auch die vielleicht zwingend herrschenden Gesetze genau bekannt sind, kann die Folge keinesfallsgenau und sicher vorhergesagt werden. Daher führen beide philosophischen Überzeugungen in der Psychologie dazu, sich mit einer nur probabilistischen Modellierung zu begnügen.

Verschiedene Möglichkeiten können sich in ihrer Wahrscheinlichkeit a unterscheiden. Es ist wahrscheinlicher,

daß eine "leichte" Vokabel schon bei der ersten Gelegenheit gelernt wird, als eine "schwierige",
daß ein schneller lernender Schüler die Vokabel sofort lernt, als daß dies einem langsam lernenden gelingt,
daß etwas sofort haften bleibt, was interessiert, als etwas, was dem Lerner gleichgültig ist, und
daß etwas ins Gedächtnis gelangt, was der Lehrer geeignet hervorhebt, als etwas, was er unauffällig beiläufig mit erwähnt.

Die Lernwahrscheinlichkeit ist also eine Funktion des Lehrstoffelements L, des Lerners P und der Weise B, der Mittel M und der Umwelt S der Darbietung:

(6.1) a = a(L, P, B, M, S) < 1

Wie groß auch immer für einen eifrigen Schüler, einen guten Lehrer und geeignete Umstände die Lernwahrscheinlichkeit a ist: stellt man höhere Ansprüche, nämlich ein höheres Lehrziel Z, d. h.. strebt man an, daß das Lehrstoffelement "schließlich" mit einer höheren Wahrscheinlichkeit als a gelernt worden ist, kurz: wenn

(6.2) Z = !p > a

dann ist das Ziel nur durch genügend häufige Wiederholung der Lerngelegenheit zu erreichen. Aber wie oft soll wiederholt werden? Der didaktische Sinn der probabilistischen Lernmodellierung und der empirischen Messung

Bild 6.1: Reales (physisches) Modell der Zufallsaufnahme perzipierter Elemente ins Bewußtsein und ins vorbewußte Gedächtnis. (Aus Frank, 1984a, S. 41)

von a als Parameter des Modells besteht in der Ermöglichung einer begründeten Antwort auf diese Frage. Bild 6.1 ist ein reales Lernmodell. Verschiedenartige Münzen bilden im Modell die verschiedenen Lehrstoffelemente ab; eine Mehrheit gleichartiger Münzen bildet die Mehrheit ihrer Lernanlässe ab. Der Trichter steht für den Kanal der Sinnesorgane: offensichtlich fallen viele angebotene Elemente an ihm vorbei, werden also nicht perzipiert. Aber selbst nicht alles, was auf den Trichter trifft, kommt durch ihn hindurch; das bildet modellhaft den Umstand ab, daß nur ein Teil von dem, was perzipiert ist, auch apperzipiert wird. Der Austritt einer Münze auf ein Laufband bildet den Eintritt in den Kurzspeicher ab; das Modell veranschaulicht das Verweilen im Kurzspeicher während der Gegenwartsdauer unter Wahrung der Aufeinanderfolge. Zufällig gelangen einige Münzen auf ein schiefes Brett, auf welchem Nägel und ein Schieber mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit a eine Münze in einen Glaskastenfallen lassen; der das vorbewußte Gedächtnis darstellt.

Wenn die Lernwahrscheinlichkeit jeden Lernelements, beispielsweise jeder zu lernenden Vokabel, insbesondere 1/6 beträgt, dann kann ein reales Modell des Lernens auch mit Spielwürfeln erzeugt werden (Bild 6.2). Jeder zu lernenden Vokabel ist ein Spielwürfel zugeordnet; die Vokabel ist auf genau eine seiner sechs Seiten geschrieben - die fünf anderen sind leer. Das Werfen von L solchen Würfeln mit L verschiedenen Lernelementen bildet eine Lerngelegenheit dieser Lernelemente ab: "gelernt" werden in diesem Modell jene, die auf einer Würfelseite stehen, die oben zu liegen kommen wird. Bei jedem Wurf trifft dies auf (ungefähr) ein Sechstel der geworfenen Würfel zu.

Bild 6.2: Würfelmodell für die angenommene Lernwahrscheinlichkeit a = 1/6. Jeder Lerner hat für jedes Element einen Würfel. Bei jedem beliebigen Lerner steht jedes beliebige Element nach dem Wurf mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 oben.

Bild 6.3: Die für das Lernmodell vorgenommenen Vereinfachungen. (Aus Frank, 1984a, S. 49)

Bild 6.3 ersetzt die beiden realen Modell durch ein anschauliches Modell, nämlich durch das ALZUDI-Lernmodell (das wegen seiner einstigen Rolle in einem, der didaktischen Unterrichtsvorbereitung dienenden Rechnerprogramm namens ALZUDI so genannt wird). Das Modell ist ein probabilistischer Automat, welcher für jedes Lernelement zwei Zustände hat: U für den Zustand des Nicht-Gelerntseins, G für den Zustand des Gelerntseins des Elements. Die Modellvereinfachungen sind offenkundig, nämlich die Abstraktion von

Transfer (die Lerngelegenheit für irgendein Lernelement ermöglicht nicht das Lernen eines anderen)
Bahnung (eine erfolglose Lerngelegenheit beeinflußt nicht einmal die künftige Lernwahrscheinlichkeit)
Vergessen (was den Zustand G schon erreichte, bleibt in diesem)
Überlernen (ein Weiterlernen irgend einer schon gelernten Vokabel führt nicht in einen anderen, stabileren Zustand, in welchem z. B. weniger rasch vergessen würde).

6.2 Messung der Lernwahrscheinlichkeit

Im einfachsten Fall ist eine Klasse mit z.B. K = 12 gleich eifrigen und gleich lernfähigen Schülern (mit den Nummern k = 1, 2, ..., 12) zu betrachten, die z.B. L = 18 gleich leicht lernbare Vokabeln (mit den Nummern l = 1, 2, ..., 18) lernen soll; kein Schüler kennt von Anfang an schon irgendeine der Vokabeln. Wenn man diesen einfachen Fall durch Spielwürfel als reales Modell darstellen will, dann muß man auf K = 12 Tischen (nämlich jenen von 1. Anton, 2. Berta, ..., 12. Martha) je einen Satz von 18 Spielwürfeln werfen, die mit denselben L = 18 Vokabeln beschriftet sind. Grundsätzlich ist es möglich, daß von den Oberseiten der 18 Würfel auf dem Tisch von Anton keine einzige beschrieben ist, von jenen auf dem Tisch von Berta alle 18. Diese beiden Extremfälle sind jedoch sehr unwahrscheinlich. Am wahrscheinlichsten ist,

Vokablo Vokabel	Lernanto Schüler
Deutsch	ILo	k l	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12=K
eine Biene	abelo	1	+	-	-	-	-	+	-	-	-	-	-	-	2/12
eine Birke	betulo	2	-	-	-	-	-	-	-	+	+	-	-	-	2/12
eine Narbe	cikatro	3	-	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+	2/12
Kummer bereiten	öagreni	4	-	-	-	+	-	-	-	-	-	+	-	-	2/12
ausschweifend leben	diboöi	5	-	-	-	-	-	+	-	-	-	-	+	-	2/12
geistiges Klima	etoso	6	-	+	-	-	-	-	+	-	-	-	-	-	2/12
ein Trichter	funelo	7	-	-	+	-	-	-	-	-	+	-	-	-	2/12
ein Knie	genuo	8	-	-	-	-	+	-	-	-	-	+	-	-	2/12
höflich	äentila	9	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+	-	2/12
eine Schwalbe	hirundo	10	-	-	-	+	+	-	-	-	-	-	-	-	2/12
nur ausgedacht	ximera	11	-	-	-	-	-	-	-	+	+	-	-	-	2/12
sich vorstellen	imagi	12	-	-	-	-	-	-	+	-	-	-	-	+	2/12
eine Walnuß	juglando	13	+	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+	-	2/12
eifersüchtig	yaluza	14	-	+	-	-	-	-	+	-	-	-	-	-	2/12
sich sehr bemühen	klopodi	15	-	-	-	+	+	-	-	-	-	-	-	-	2/12
ein Hase	leporo	16	-	-	+	-	-	-	-	-	-	+	-	-	2/12
wandern	migradi	17	-	-	-	-	-	+	-	-	-	-	-	+	2/12
nichts	nenio	18=L	-	-	+	-	-	-	-	+	-	-	-	-	2/12

			3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18	3 18

Bild 6.4: Idealfall einer Lerneerfolgsverteilung. Messung der Lernwahrschesinlichkeit. (Nach Frank, 1996, S. 41)

daß sich auf den Oberseiten 3/18 = 1/6 der Vokabeln befinden. Wenn es sich bei Anton um ABELO, DIBOÖI und ÄENTILA handelt, dann stehen höchst wahrscheinlich auf dem Tisch von Berta drei andere Vokabeln auf der Oberseite der dortigen 18 Spielwürfel. Bild 6.4 zeigt diesen Idealfall. Ein Pluszeichen (+) beispielsweise in der 1. und 6. Spalte der 1.Zeile zeigt das Gelerntwordensein der 1. Vokabel (ABELO) durch die Schüler Nummer 1 und 6 (Anton und Fritz).

Die Lernwahrscheinlichkeit a_k der Vokabeln für den Schüler Nummer k ist meßbar, wenn man die P_k gelernten von den L Vokabeln zählt (also die Pluszeichen in der k-ten Spalte). Dann ist offensichtlich P_k/L ein Meßwert für die Wahrscheinlichkeit a_k. Im durch Bild 6.4 gegebenen Beispiel lernte jeder Schüler 1/6 der Vokabeln; dies ist also der für ihn gemessene Lernwahrscheinlichkeitswert. - Meßbar ist in analoger Weise auch die Lernwahrscheinlichkeit a_l des zu lernenden Elements Nummer l, nämlich durch den Quotienten der P_l Schüler, die es lernten, dividiert durch die K Schüler, die Gelegenheit dazu hatten. - Wenn alle a_k gleich sind, dann handelt es sich um eine homogene Klasse von Schülern: keiner der Schüler ist besonders eifrig oder besonders faul, noch besonders fähig oder besonders unfähig. Stimmen alle a_l überein, dann liegt ein homogener Lehrstoff vor: kein Element ist besonders leicht oder besonders schwer zu lernen. Bild 6.4 zeigt (idealisiert) einen Fall einer homogenen Klasse und eines homogenen Lehrstoffs. In einem solchen Fall erhält man einen zuverlässigeren Meßwert der Lernwahrscheinlichkeit durch die Gesamtzahl P der eingetretenen Lernerfolge (Pluszeichen) geteilt durch die mögliche Höchstzahl KL.

Für den Fall, daß die Meßwerte für die a_k zeigen, daß einige Schüler leichter lernen als andere, oder für den Fall daß eine überzufällige Unterschiedlichkeit der Meßwerte für die a_l zeigen, daß einige Vokabeln leichter als andere gelernt werden können, muß man die Klasse in homogene Teilklassen und den Lehrstoff in homogene Lehrstoffteile zerlegen. Die auf diese Weise entstehenden, verschiedenen Tabellen liefern die verschiedenen Lernwahrscheinlichkeiten a_kl= a(P, L), die ein Lehrer bei den verschiedenen Typen von P und L mit seiner Entscheidung für je eine bestimmte Kombination B, M und S erreicht.

Selbstverständlich muß man sich vor Durchführung des Lernexperiments durch einen Test versichern, daß kein Schüler schon vorab eines der Lernelemente kennt. Denn die Tabelle enthält unmittelbar nur die Rohdaten für das soeben oder früher schon erreichte Wissen, also über die jetzige Kompetenz. Diese ist nur dann gleich der Lernwahrscheinlichkeit, wenn sie zuvor Null war.

6.3 Erwerb auch aktiver Sprachbeherrschung

Es ist eine allgemeine Erfahrung, daß man leichter zu einer fremdsprachlichen Vokabel deren Bedeutung (sei es die Übersetzung in die eigene Sprache, sei es unmittelbar die eigentliche Bedeutung) zu assoziieren lernt, als umgekehrt zu dieser Bedeutung die fremsprachliche Vokabel. Mit anderen Worten: man erwirbt leichter eine "passive" oder "reproduktive" Kompetenz in einer Fremdsprache, d. h. man lernt diese leichter zu verstehen als sie durch Erwerb einer (auch) "aktiven" oder "produktiven" Kompetenz (auch) selbständig anzuwenden. Man muß ja nicht im Einzelnen jeden Buchstaben oder Laut eines Wortes im Gedächtnis haben, um das Wort wiederzuerkennen.

Bild 6.5: Die nur passive Vokabelbeherrschung ist leichter zu erwerben als die auch aktive

Bild 6.5 zeigt, wie es durch irgendwelche (unmittelbaren oder mnemotechnisch erzeugten) Ähnlichkeiten möglich ist, eine Assoziation der Bedeutung schon zu nur wenigen der Buchstaben des Worts zu stiften - den Rest des Wortes braucht man nicht zu kennen, wenn nur das Wortverständnis wichtig ist. Die Wahrscheinlichkeit a_pas, daß bei einer Lerngelegenheit die passive Wortkenntnis erworben wird, ist also größer als die Wahrscheinlichkeit a_akt des Lernens seines auch aktiven Gebrauchs, also der ganzen, genauen Folge seiner Buchstaben oder Laute:

(6.3) a_pas< a_akt

Um diese Beziehung besser zu verstehen und genauer formulieren zu können, betrachten wir die Schaffung einer Plansprache aus fünf Vokalen (a, e, i, o, u) und vier Konsonanten (b, k, s, n) zuzüglich des Zwischenraums am Wortende (_) derart, daß die Wörter durch zufälliges, abwechselndes Ziehen eines Vokals und eines Konsonanten oder Wortendezeichens aus den beiden, je fünf Zeichen umfasssenden Repertoires geschaffen werden, und daß diesen Wörtern (beispielsweise u_, eso_, ina_, oboni_, asokubonibo_) zufällig die zu kodierenden Bedeutungen zugeordnet werden (es möge sich beziehentlich um Haus, Mensch, Maschine, Gabel, Tisch handeln). Um zu verstehen, daß ein Wort "Mensch" bzw. "Tisch" bedeutet, genügt es im Extremfall (im gegebenen Beispiel) zu lernen, daß der Anfangsvokal e bzw. a ist. Nehmen wir an, man lerne den Anfangsvokal mit der Wahrscheinlichkeit 1/5, ebenso wie das zweite, dritte, ... Zeichen. Dann ist offensichtlich a_pas für alle Vokabeln 1/5. Um aber das Codewort für Mensch zu lernen, genügt es nicht, den Anfangsvokal e ins Gedächtnis aufzunehmen, vielmehr muß auch vollständig und genau die Fortsetzung "so_" gelernt werden, was nach Voraussetzung nur mit der Wahrscheinlichkeit (1/5)³ = 1/125 gelingt, so daß a_akt= a_pas^.(1/5)³_. Ebenso leicht (a_pas= 1/5) ist es möglich, das Verstehen der Vokabel "asokuboniba_" zu lernen; jedoch kann deren auch aktive Anwendung bei einer einzigen Lerngelegenheit nur mit einer viel kleineren Wahrscheinlichkeit gelernt werden: a_akt= a_pas^.(1/5)¹¹, denn außer der Bedeutung, die unzweideutig der erste Buchstabe repräsentiert, muß auch die genaue Aufeinanderfolge der 11 anderen Zeichen einschließlich des das Wortende bildenden Zwischenraums gelernt werden. Man vermutet also in Präzisierung von (6.3) das Gesetz: :

(6.4) a_akt= a_pas^.A^b

Hierbei bezeichnet b die Länge des Wortes, gemessen durch die Zahl seiner aufeinanderfolgenden Buchstaben, und A < 1 die (mittlere) Wahrscheinlichkeit des Lernens, daß an einem bestimmten Platz im Wort ein bestimmtes Zeichen auftritt.

Bei einer Sprache, die sich geschichtlich entwickelte, ebenso wie bei ILo, dessen Wortteile ja aus geschichtlich gewachsenen Sprachen entnommen sind, ist A weder für jedes Zeichen gleich (die Zeichen haben ja verschiedene Häufigkeiten) noch unabhängig von seinem Platz und von den Vorgängerzeichen im Wort. Dann kann man A als einen Mittelwert deuten, für welchen ungefähr gilt

(6.5a) A₁A₂^.... ^.A_b= A^b

wobei man unterstellt, daß dieser Mittelwert nicht zu sehr von der Wortlänge abhängt. Wegen (6.5a) ist A nicht das arithmetische sondern das geomerische Mittel(6.5b) A = (A₁A₂^.... ^.A_b)^1/b

der Lernwahrscheinlichkeiten A_ider Zeichen, welche die Plätze i = 1, 2, ..., b einnehmen.

Das mathematische Modell (6.4) legt eine empirische Suche des Modellparameters b aufgrund von Messungen der Lernwahrscheinlichkeiten a_aktund a_pasder verschiedenen ILo-Wortteile nach der Vorgehensweise nahe, die durch Bild 6.3 dargestellt wurde. Aus Gleichung 6.4 folgt durch beiderseitiges Logarithmieren, daß Y := log a_akt linear von der Wortteillänge abhängit ist: (6.6) Y := log a_akt = log a_pas+ b^.log A

Hat man die Lernwahrscheinlichkeiten gemessen, und trägt man die Ergebnisse in ein (sog. "einfach logarithmisches") Koordinatensystem mit der Abszisse X = b und der Ordinate Y = log a ein, dann werden sich die Meßpunkte von a_pas voraussichtlich um eine Waagrechte verteilen, und jene für a_aktum eine Gerade mit der (negativen) Steigung log A < 0 -wenigstens, wenn die Vokabeln - außer hinsichtlich der Länge b - einen homogenen Lehrstoff L bilden, und wenn auch die Klasse P der Lerner homogen ist. Man kann demnach für jeden solchen Fall (L, P) das arithmetische Mittel für a_pas(L, P) berechnen und log A(L, P) als Steigung einer Regressionslinie bestimmen.

Die empirischen Ergebnisse, die für ILo-Wortwurzeln ohne Ähnlichkeit mit den, den (deutschsprachigen) Lernern bekannten, Lexemen gleicher Bedeutung gefunden wurden, stimmen mit der Vermutung (6.4) bzw. (6.6) überein und führen zu Bild 6.6. Es zeigt sich, daß - unabhängig von der Vokabellänge - ein Erwachsener bei einer einmaligen, typischen Lerngelegenheit das Verstehen mit einer Wahrscheinlichkeit a_{pas 36% (Frank, 1977)}lernt, 8-jährige Teilnehmer am Sprachorientierungsunterricht nur mit einer Wahrscheinlichkeit a_{pas 8% (Meder, 1977),}wenn beide schon einen hinreichenden Wortschatz erworben haben, um an die statistische Struktur von ILo-Wortteilen gewöhnt zu sein. (Über Folgen nicht genügenden Vertrautseins vgl. Frank, 1984b). Aber die Wahrscheinlichkeit, auch den aktiven Gebrauch zu erlernen, verkleinert sich bei einem Erwachsenen ebenso wie bei Kindern um den selben Faktor A = 0,9 bei jedem zusätzlichen Buchstaben.

Bild 6.6: Die Lernwahrscheinlichkeit für die auch aktive Vokabelbeherrschung fällt (exponentiell) mit der Wortlänge - unabhängig vom Alter der Lerner.

Die Überlegenheit von Erwachsenen beim Lernen von Vokabeln besteht demnach nur in ihrer größeren Erfahrung, sich auf wenige Buchstaben zu konzentrieren, die für die Wiedererkennung einer Vokabel ausreichen, und auf die Leichtigkeit, die Bedeutung zuzuordnen. Hinsichtlich der Fähigkeit, neue Folgen von Buchstaben sich einzuprägen, scheinen jedoch Grundschüler bereits ebenso reif wie Erwachsene zu sein.

Dies bleibt von der häufig allzu sehr bestaunten Sprachlernfähigkeit von Schülern im Grundschulalter - außer ihrer größeren Leichtigkeit, sich phonetische Lehrstoffe anzueignen.

6.4 Lernwahrscheinlichkeit, Lernfortschritt und Lernleichtigkeit

Um die Lernwahrscheinlichkeit auf die durch Bild 6.4 dargestellte Weise zu messen, ist es wichtig, daß die Lerner vor der ersten Lerngelegenheit nur den Teil p₀ = 0 des Lehrstoffs kennen, also die Anfangskompetenz p₀ = 0 haben, und die Anfangsinkompetenz u₀ = 1-p₀ = 1. Nur dann ist die Lernwahrscheinlichkeit a gleich dem Prozentsatz p₁, der nach der ersten Lerngelegenheit bekannt ist. Das Modell mit den Spielwürfeln (Bild 6.2) macht dies offenkundig. Rührt man jenes (p₁ = a =) Sechstel der Würfel, bei welchem die beschriftete Seite sich nach dem ersten Wurf oben befindet, nicht mehr an sondern wirft als nächsten "Lernanlaß" nur den Rest, dann wird von diesen (u₁ = 1-p₁ =) 5/6 aller Würfel beim zweiten Versuch wieder (ungefähr) ein Sechstel die beschriftete Seite oben haben. Das sind jedoch nur noch u₁a = 5/36 aller zum Spiel gehörigen Würfel - weniger als beim ersten Wurf (u₀a = 1/6 = 6/36). Schreitet also der Lernprozeß während der Wiederholung immer langsamer voran (unabhängig von einer etwaigen Ermüdung, von einem Verlust des Interesses oder vom Vergessen - keine dieser möglichen Ursachen ist ja beim Modell berücksichtigt!)?

Das Paradoxon löst sich auf, wenn wir berücksichtigen, daß jede Lerngelegenheit eine bestimmte Zeit benötigt. Verwendet man eine Gegenwartsdauer, T = 10 Sekunden, um eine Vokabel anzubieten, dann beträgt die erforderliche Zeit für das Angebot der Liste der 18 Vokabeln von Bild 6.4 t = 3 Minuten. Selbstverständlich wächst die Lernwahrscheinlichkeit a mit t, wenngleich nur verzögert, denn a kann ja seine obere Grenze 1 nicht überschreiten. Aber die gleichartige Wiederholung der Liste benötigt ja jedesmal dieselbe Zeit, und das Modell setzt ja eine konstante Lernwahrscheinlichkeit a = 1/6 voraus. Dennoch: von den am Anfang noch unbekannten 18 Vokabeln werden 18a = 3 gelernt, später, sobald nur noch 12 Vokabeln unbekannt blieben, lernt man während der 3 Minuten 12a = 2 Vokabeln, und sobald nur noch 6 unbekannte Vokabeln verbleiben, darf man sogar nur noch das Gelerntwerden von 6a = 1 Vokabel bei der erneuten Wiederholung der ganzen Liste erwarten (vgl. Bild 6.7). Folglich steigt die Kompetenz bzw. fällt die Inkompetenz während desselben Zeitintervalls von t = 3 Minuten am Anfang um Dp = -Du = a = 3/18, zu späteren Zeitpunkten lediglich um Dp = 2/18 oder gar nur um 1/18 - zweifellos nimmt also die Steigung Dp /t immer weiter ab. Jedoch kommt es während des Zeitintervalls, während welchem die 6 schon gelernten Vokabeln wiederholt werden, also beispielsweise während der ersten der drei Minuten, zu keinerlei Fortschritt: die 2 neuen Vokabeln werden während der restlichen 2 Minuten gelernt; es steigt also die Kompetenz um 2/18 während nur 2 Minuten, d. h. die Geschwindigkeit des Lernfortschritts beträgt - wie am Anfang - a /t = 1/18 in jeder Minute. Dasselbe trifft auch auf die einzige Minute zu, während welcher die sechs letzten noch zu lernenden Vokabeln angeboten werden und eine von ihnen gelernt wird, so daß die Kompetenz um Dp = 1/18 steigt.

Bild 6.7: Bleibt der Lernfortschritt während einer Wiederholung derselbe? (Nach Frank, 1996, S. 41)

Nur im arithmetischen Mittel der Klasse nimmt die Geschwindigkeit des Lernfortschritts ab. Denn diese beträgt für jeden Lernenden entweder (während der Wiederholung von nicht schon gelerenten Elementen) a /t, oder (während der Wiederholung von etwas, das schon bekannt ist) 0 - und für jede Vokabel nimmt ja die Zahl der Lerner, die sie noch nicht gelernt haben, ständig ab.

Die Geschwindigkeit, mit welcher die Kompetenz über noch nicht gelernte Lehrstoffelemente steigt, solange kein Zeitverlust durch Wiederholung gelernter Elemente eintritt, beträgt konstant

(6.7) l = a /t

l ist ein geeignetes Maß für die Lernleichtigkeit, denn l ist desto größer, je größer die Lernwahrscheinlichkeit und je weniger lang die für das Lehrstoffangebot benötigte Zeit ist.

Übungsaufgaben

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