Bildungskybernetische Theorie des Sprachorientierungsunterrichts

11. Maße des direkten Unterrichtserfolgs

11.1 Schulnoten

 

Schulüblich wird der Erfolg eines Lernenden in einem Kurs oder in einem Teil eines Kurses (evt. sogar in einer einzelnen Lektion) durch eine sog. "Note" angegeben, die durch ein suggestives Wort oder durch die Nummer in der (steigenden oder fallenden) Ordnung der Noten codiert wird. Hier drei bekannte Beispiele:
  1. Die Fahrprüfung am Schluß eines Fahrkurses beurteilt den Lernerfolg üblicherweisse nach der einfachsten Skala: durchgefallen (0) - bestanden (1).
  2. Die Notenskala deutscher Schulen und Universitäten lautet in fallender Ordnung: sehr gut (1) - gut (2) - befriedigend (3) - ausreichend (4) - mangelhaft (5) - ungenügend (6).
  3. Die Internationale Akademie der Wissenschaften (AIS) San Marino benotet Kurs- und Prüfungserfolge nach folgender steigend geordneter Skala: 0/10 - 1/10 - 2/10 - 3/10 - 4/10 - 5/10 - 6/10 - 7/10 - 8/10 - 9/10 - 10/10.
Die Codierung durch Zahlen zeigt deutlicher den Rang einer Note als eine Verbalisierung. Die Notenskala bleibt aber eine sog. "Ordinalskala", die einen bloßen Vergleich ermöglicht (> oder < ?), nicht auch eine Abstandsmessung durch Notendifferenzen. Daher hat die gebräuchliche Berechnung von Notendurchschnitten wenig Sinn. Bild 11.1 zeigt dies an einem drastischen Beispiel. Wenn von einer Klasse die Hälfte 75% des Lehrstoffs weiß, die andere Hälfte 25% (oder wenn ein Schüler von der Hälfte des Lehrstoffs 75%, von der anderen 25% weiß), dann beträgt die durchschnittliche Kompetenz offensichtlich ` p = 50%. Ordnet man die Noten der deutschen Skala so zu, daß Kompetenzen zwischen 40% und 80% zur Note 2 führen, Kompetenzen zwischen 20% und 30% zur Note 4, dann ist der (sinnlose) Durchschnittswert der zu erteilenden Noten 3, obwohl die durchschnittliche Kompetenz zur Note 2 führen müßte.

Bild 11.1: Schulnoten sind keine Maßzahlen sondern Rangnummern innerhalb einer Wertordnung. Mangels einer definierten Differenz haben die daraus errechneten Mittelwerte keinen definierten Sinn

 

Gibt man jedoch die Zeugnisnote 4 bei Kompetenzwerten zwischen 20% und 60%, die Zeugnisnote 2 lediglich im Falle einer zwischen 70% und 80% liegenden Kompetenz, dann bleibt der arithmetische Mittelwert der Noten 3, aber die durchschnittliche Kompetenz 50% hätte zur Note 4 führen müssen. -

Das Beispiel erklärt zugleich die oft sehr unterschiedliche Beurteilung (2 oder 4!) derselben Leistung durch verschiedene Lehrer.

 

 

11.2 Messung von Kompetenz (Wissensprozentsatz) p und Inkompetenz (Unkenntnis) u = 1-p.


  •  
    •
    Statt die Noten auf der Kompetenzskala in willkürlichen Abständen zu plazieren, könnte man sie gleichabständig unterbringen - oder unmittelbar die Kompetenz p oder deren Komplement, die Inkompetenz (Unkenntnis) u = 1-p, als steigende bzw. fallende Zeugnisnotenskala verwenden. In der Schulpraxis führt eine solche Feststellung des Unterrichtserfolgs zu Meßproblemen:
    1. Bei unklar formulierten freien Antworten auf W-Fragen können Zweifel entstehen, was die Schüler damit meinten.
    2. Manche Fragen des Lehrers ermöglichen Zweifel darüber, was er wissen will.
    3. Läßt man auf Entscheidungsfragen (oder mit Wahlantworten auf W-Fragen) antworten, dann ist die Wahrscheinlichkeit zufällig richtigen Ratens beträchtlich hoch - und überdies unbekannt, wenn die Antworten für einen Ignoranten nicht gleichwahrscheinlich sind.
    4. Ungewiß ist, ob die Fragen zwischen den abfragbaren Lehrstoffelementen gut verteilt sind.
    5. Ungewiß ist, ob die Fragen gleich schwer und gleich wichtig sind.
    Um die beiden ersten Probleme zu umgehen, empfiehlt sich die Wahlantwortmethode. Um das dritte und vierte Problem zu verkleinern, muß man eine genügend große Zahl von Fragen stellen und solche "Distraktoren" (d. h. unrichtige Antwortangebote) benutzen, welche sich bei der Entwicklung des Tests als für einen Unwissenden gleichwahrscheinlich untereinander und im Vergleich zur richtigen Antwort erwiesen haben. Wenn man zu jeder Frage s Antworten zur Auswahl stellt, von denen genau eine richtig ist, dann hat man mit der Wahrscheinlichkeit b = 1/s das Glück, sie zufällig richtig zu erraten. Die Kandidaten mit der Unkenntnis u, die also auf (im Durchschnitt) uN Testfragen die richtige Antwort nicht kennen, geben wegen jener Glückswahrscheinlichkeit nur M = (1-b)uN unrichtige Antworten (Bild 11.2). Aus der Zahl M der Fehler, die ja beobachtbar sind, dem bekannten Testumfang N sowie der Wahrscheinlichkeit b, beim Raten Glück zu haben, kann man also die Unkenntnis berechnen:

    (11.1) u = M / (1-b)N

    und daher auch die Kompetenz p = 1-u.

    Bild 11.2: Kompetenzmessung mittels Wahlantworten. (Aus Frank, 1996, S. 53.)

     

    Das fünfte Problem hat einen ideologischen Teil: was mehr, was weniger "wichtig" ist, das ist ja nicht wissenschaftlich beobachtbar, sondern Folge einer Wertung, hat seinen Ursprung also in einem ideologischen Standpunkt! Den nichtideologischen Teil des Problems kann man vermeiden, wenn man eines der Rateverfahren von Weltner (1966, 1967) anwendet. Statt die Zahl der unbekannten Lehrstoffelemente zu bestimmen, die ja ungleich schwierig, weil ungleich reich an Information sein können, mißt man die Summe ihrer Informationsgehalte. Man zählt dazu die Ratefehler, die im Ratetest einerseits ein Fachmann, andererseits ein Laie macht, und berechnet daraus nach (9.2) - oder, falls man den vereinfachten Ratetest verwendete, nach (9.5) - die Lehrstoffinformation I. Ein Schüler, der über einen Lehrstoff die (zu messende) Kompetenz p erreicht hat, kennt von der Lehrstoffinformation den Prozentsatz p, hat also die Lehrstoffinformation pI gelernt. Ist p > 0, dann weiß er mehr als der Laie; ist p < 1, dann ist er noch nicht Fachmann (Bild 11.3). Er macht dann also im Ratetest weniger Fehler als ein idealer (d.h. kenntnisfreier) Laie, aber mehr als der perfekte Fachmann. Der Abstand, der ihn wegen seiner Unkenntnis u noch von einem Fachmann trennt, kann durch die Differenz seiner Ratefehler Fu gegenüber den Fehlern gemessen werden, die vielleicht (nämlich bei Vorhandensein ästhetischer Information im Basaltext) sogar vom Fachmann gemacht werden. Diese Differenz ist zu u proportional und erreicht für u = 1, also für den Laien, ihren Höchstwert. Die Unkenntnis wird damit meßbar durch

    (11.2) u = (Fu - FF) / (FL - FF) =: ^W/I £ 1

    eine Formel, die mit E statt F auch auf die Ergebnisse des klassischen Weltner-Verfahrens anwendbar ist. Die noch nicht gelernte Lehrstoffinformation ^W wird mit Weltner "didaktische Information" genannt (Bild 11.3). Ebenso wie u den verbleibenden Abstand zu einem Fachmann mißt, zeigt p = 1-u den schon gewonnenen Abstand zum Laien an:

    (11.3) p = 1-u = (FL - Fu) / (FL - FF)

    Auch in dieser Formel kann natürlich F durch E ersetzt werden.

    Bild 11.3: Die Basaltextinformation und die didaktische Information ^W sind Maße des (erreichten) Wissensstandes zum Zeitpunkt d.
    Häufig sucht man nicht die wirkliche Unkenntnis u (oder Kompetenz p = 1-u), sondern eine ideologisch (d.h. wertungsabhängig) so abgeänderte Beurteilung u* (bzw. p*), daß das Nichtkennen "wichtiger" Lehrstoffelemente (z.B. praktisch oft benutzter Vokabeln) zu einem höheren Wert u* führt, als das Nichtkennen von weniger wichtigen. Dann ordne man ideologische "Gewichtigkeitsgrade" g den verschiedenen Lehrstoffelementen zu, multipliziere die Fehler, die in den betreffenden Teilen des Basaltextes vom Laien, vom Lerner und vom Fachmann gemacht werden, mit dem jeweiligen Gewichtsgrad und setze die so veränderten Fehlersummen in (11.2) ein.
     11.3 Messung des direkten Unterrichtserfolgs unabhängig von Vorkenntnissen.
    Der direkte Unterrichtserfolg über einen bestimmten Lehrstoff L zeigt sich in der Erhöhung der Kompetenz bezüglich L. Für jeden Lehrstoff L existieren Lehrstoffe L*, L**, usf. (oder sie können erzeugt werden), derart, daß der Unterricht nur von L selbst auch einen (normalerweise günstigen) Einfluß auf den Verlauf der Lernkurven hat, nach welchen die Kompetenz über diese (irgendwie ähnliche) Lehrstoffe steigen wird (oder würde), sobald (bzw. falls) man nachher auch sie unterrichtet (bzw. unterrichten würde). Ein solcher "Nebenerfolg" des Unterrichts über L heißt "indirekter Unterrichtserfolg". Er kann nach (7.5 a,b) ein Änderung (normalerweise Erhöhung) der Anfangskenntnisse oder der Lernleichtigkeiten bezüglich L*, L**, usf. (oder beides) sein.
    Der "Erfolg" des Unterrichts im Sinne seines Ergebnisses wird am besten (nämlich unabhängig von ideologischer Gewichtung und ideologischer Zuordnung einer Notenskala) durch die abschließend (nach der Unterrichtszeit t = d) erreichte Kompetenz gemessen. Diese hat nach (7.6a,b) drei Ursachen: die Dauer d des Unterrichts, die anfängliche (In)Kompetenz (u0 bzw.:) p0 und die Leichtigkeit L » l, mit welcher das Lernen erfolgte.
    Will man den "Erfolg" des Unterrichts im Sinne der von diesem selbst verursachten Wirkung messen, dann sucht man ein Maß, das möglichst nicht vom Anfangszustand der Lerner abhängt. Man sucht also ein Maß, das wenigstens von der Vorkenntnis unabhängig ist, die ja möglicherweise als indirekter Unterrichtserfolg eines vorhergehenden Unterrichts verursacht worden war. Im Falle der idealen Lernsteuerung, für welche die Lernkurve den Gleichungen (7.6a,b und 10.8c) genügen, erfüllt das Bildungsinkrement w = u0/ud (vgl. 10.9) diese Unabhängigkeitsbedingung. Daher ist selbstverständlich auch jede Funktion von w unabhängig von u0. Beispielsweise eignen sich in diesem Sinn als Maße des Lernerfolgs auch ln w kaj 1 - 1/w - Funktionen, die mit dem Bildungsinkrement steigen und den Vorteil haben, daß sie nicht, wie w, 1 werden, wenn u sich während des Unterrichts nicht ändert. Die zweite Funktion wird außerdem für den Fall des vollständigen Gelernthabens 1 und nicht, wie w und ln w, unendlich groß. (In Lektion 12 wird der Umstand untersucht werden, daß ein hoher w-Wert nicht immer nur ein direkter Erfolg von Qualität und Dauer des betreffenden Lehrprozesses selbst ist, sondern als eine Komponente auch einen indirekten Erfolg eines vorhergegangenen Lernens eines anderen Lehrstoffs enthalten kann. Das Maß filtert also nur die Vorkenntnisse aus, nicht auch die vielleicht eingetretene Erhöhung der Lernleichtigkeit.)
    Zwei Vorteile des Bildungsinkrements (und beliebiger Funktionen von diesem), die aus (11.1) folgen, sind für dessen Anwendung in der pädagogischen Praxis von besonderer Wichtigkeit:
    1. Wenn man denselben Test, der Antworten zur Auswahl stellt, vor und nach dem Unterricht einsetzt, dann ist es nicht nötig, die Ratewahrscheinlichkeit b zu kennen, die Distraktoren müssen also nicht sicher gleichwahrscheinlich sein, denn (1-b) fällt als im Zähler und im Nenner stehender Faktor heraus (vgl. Bild 11.4).
    2. Man kann einen beliebigen, jedoch denselben Test vor und nach dem Unterricht anwenden, sogar einen solchen, bei welchem man die höchstmögliche Zahl N möglicher Fehler nicht kennt (wie beispielsweise in einem Diktat), so daß er also die Unkenntnis nicht zu messen gestattet. Denn auch N fällt bei der Berechnung von w heraus. -

    Bild 11.4: Das Bildungsinkrement w = u0/ud kann sowohl als Verhältnis der Unkenntnisse vor und nach einem Unterricht als auch als Verhältnis m0/md der (absoluten oder relativen) Fehler im gleichen Test ermittelt werden. (Aus Frank, 1996, S. 55.)

     

    Man kann als "Erfolg" eines Unterrichts die in ihm gelernte Lehrstoffinformation betrachten. Weltner selbst nannte dies "didaktische Transinformation". Die heute übliche Bezeichnung lautet "Weltner-Information"

    (11.4) W := (pd-p0).I = Dp.I £ ^W £ I

    Sie ist offensichtlich eine Verallgemeinerung der Begriffe der Lehrstoffinformation I (d.h. der Informacio, die ein Laie lernen muß, um Fachmann zu werden) und der didaktischen Informacio ^W (die noch gelernt werden muß, um Fachmann zu werden). Wie diese ist sie durch zweimaliges Anwenden eines Weltnerschen Rateverfahrens meßbar, aber (anders als für [9.2]) statt auf einen Laien und einen Fachmann allgemeiner (mit demselben Basaltext), auf (je eine Stichproben der) Lerner vor und nach dem Unterricht:

    (11.4) W := i0(BT) - id(BT)

    Im Falle der Lernsteuerung filtert W nur scheinbar die Vorkenntnis (durch Subtraktion) aus. Wegen der Krümmung der Lernkurve wächst p ja desto langsamer an, die Differenz wird während derselben Zeit also desto weniger groß, je größer p schon war, je weniger groß also i0(BT) war. Nur im Falle einer idealen Lernregelung (die für einen Klassenunterricht auch nicht näherungsweise verwirklicht werden kann) wird nichts schon Gelerntes wiederholt, so daß die Lernkurve zur Geraden wird und nicht das Bildungsinkrement w, sondern die Weltnerinformation W unabhängig von der Vorkenntnis ist - ebenso wie die Differenzen

    (11.5) Dp = pd - p0 = u0 - ud = - Du.

     11.4 Befreiung des Erfolgsmaßes von der Unterrichtsdauer d.
  •  
    •

    Der direkte Unterrichtserfolg wächst mit der Dauer d des Unterrichts - sowohl im Falle der Lernsteuerung, als auch im Falle der idealen Lernregelung, als auch im Falle jeden realen Unterrichts zwischen den beiden Idealtypen. Analog dazu wächst ja auch die vollbringbare körperliche (physikalische) Arbeit mit der Arbeitszeit, was man in der Physik berücksichtigt, indem man zur Berechnung der Leistung die vollbrachte Arbeit durch die dazu benötigte Zeit dividiert. Um die Zeit als triviale Ursache des Ergebnisumfangs auch im Falle der im Unterricht vollbrachten geistigen Arbeit zu eliminieren, sind für die beiden idealen Grenzfälle zwei verschiedene Vorgehensweisen erforderlich.
    Im Falle der idealen Lernregelung fehlt die Hauptursache für die Krümmung der Lernkurve, nämlich die überflüssige Wiederholung der schon gelernten Lehrstoffelemente. Die Kompetenz steigt daher proportional zur Lernzeit (in Wirklichkeit näherungsweise - und theoretisch sogar genau, wenn es kein Vergessen, keinen Interessenschwund, keine Ermüdung und keine Inhomogenität von Lehrstoff oder Lernerklasse gibt). Eine solche Lernregelung bewerkstelligt ein Schüler näherungsweise, wenn er beim Lernen von Vokabeln, die auf den beiden Seiten von Kärtchen stehen, vor jeder Wiederholung die schon gelernten ausscheidet. Ein von der Lerndauer unabhängiges Erfolgsmaß ist der in diesem Falle konstante Quotient Du/d. Dieses Maß der "Lernleistung" ist also völlig analog zur physikalischen Leistung.
    Im Falle der Lernsteuerung wäre der Quotient Du/d nur dann unabhängig von d, wenn d nicht die Gesamtdauer des Lehrens, also des Unterrichts, darstellte, sondern die "reine Lernzeit" wäre, d.h. die Summe nur jener Zeitintervalle, während welcher Lernen stattfinden konnte, weil nicht etwas schon Gelerntes gelehrt wurde (vgl. Bild 6.7). Ein solches Maß wäre nur theoretisch anwendbar. Wenn d die Dauer des Unterrichts ist, dann wächst nach (10.9) w exponentiell mit d, und die gleichbleibende "pädagogische Leistung" ist nicht als Quotient w/d meßbar, sondern als Quotient des logarithmischen Bildungsinkrements - ln w - geteilt durch die Unterrichtsdauer d:

    (11.6) ln w / d = L » l = hCv/I.

     11.5 Befreiung auch von der Lehrstoffinformation und der Lernfähigkeit.

    Die "pädagogische Leistung" L » l ist nach (11.6) desto größer, je schneller der Schüler zu lernen vermag (Cv), und desto kleiner, je größer die Information ist, die der Lehrstoff enthält (I). Der erste Einfluß ist nicht Verdienst des Lehrers, noch ist der zweite Einfluß seine Schuld. Wenn man sich von beiden Variablen befreit, indem man die Lernleichtigkeit durch Cv/I dividiert, dann bleibt die Effikanz h als Maß des relativen, unmittelbaren Lehr-erfolgs übrig; sie ist unabhängig vonVorkenntnis, Unterrichtszeit, Lernfähigkeit und Lehrstoffinformation. h ist der Prozentsatz der Lernfähigkeit, die der Lernende benutzt, um den Lehrstoff in sein vorbewußtes Gedächtnis aufzunehmen (vgl. Bild 11.5) - und weder ästhetische Information des Unterrichts, noch Information, die er, während er unaufmerksam ist, durch Zuwendung seines Interesses zu anderen Informationsquellen erlangt. Auch die Effikanz spiegelt also nicht unbedingt nur die Güte der Lehrweise B, zusammen mit den gewählten Lehrmitteln (M) und der Lernumwelt (S) wieder, sondern hängt auch von der Aufmerksamkeit, also dem Interesse des Schülers (P) ab, den der Lehrer nach Möglichkeit zu motivieren sucht.

    Bild 11.5: Die Effikanz ist der Prozentsatz der Lernfähigkeit, der für das Lernen der Lehrstoffinformation genutzt wird. Sie ist daher auch der Prozentsatz der tatsächlich benutzten Lernzeit, auf welche sich diese reduzieren würde, wenn bis zur selben Kompetenz nur Lehrstoffinformation gelernt würde.

    11.6 Breite b.

    Die Darlegung eines bestimmten Lehrstoffs im Unterricht ist desto breiter, je mehr Zeit für die Darlegung benutzt wird. Da selbstverständlich die n-fache Informacio die n-fache Zeit erfordert, um ebenso knapp bzw. breit dargelegt zu werden, ist nicht die Dauer d der Darlegung selbst, sondern die Zeit d/I, die im Mittel benutzt wird, um eine Einheit (1 bit) an Lehrstoffinformacio anzubieten, ein Maß der (absoluten) Breite. Um zu beurteilen, ob die Breite zu groß ist, oder ob sie umgekehrt nicht genügend groß ist, ist es notwendig, in Betracht zu ziehen, wieviel Informacio der Lerner in einer Zeiteinheit lernen kann (Cv) beziehungsweise wieviel Zeit er benötigt, um eine Einheit der Informacio zu lernen (1/Cv). Ein geeignetes Maß für die (relative) Breite eines Unterrichts ist demnach

    (11.6) b := (d/I)/(1/Cv) = (Cvd)/I = d/(I/Cv) = Cv/(I/d)

    Die (relative) Breite eines Unterrichts kann also auf verschiedene Weise gedeutet werden:
    1. b ist die Unterrichtszeit, die im Mittel für 1 Einheit Lehrstoffinformacio benutzt wird, dividiert durch die Zeit, die mindestens (d.h. bei hundertprozentiger Konzentration: h = 1) benötigt würde, um eine Informationseinheit zu lernen.
    2. b ist die während der Dauer des Unterrichts höchstens lernbare Informacio dividiert durch die Lehrstoffinformacio, die tatsächlich gelehrt wird.
    3. b ist die Dauer des Unterrichts geteilt durch die Zeit, die mindestens nötig wäre, um die Lehrstoffinformacio tatsächlich zu lernen.
    4. b ist der Kehrwert der Unterrichtsknappheit 1/ b , nämlich der Kehrwert der Geschwindigkeit des Lehrens (gemessen als Lehrstoffinformacio geteilt durch Unterrichtsdauer) dividiert durch die Geschwindigkeit des Lernens.
    Aus (11.6) und (10.8b) folgt

    (11.7) hb = (hCv/I)d = ld » Ld = ln w

    Der Lernfortschritt hängt also vom Produkt aus Effikanz und Breite derart ab, daß eine weniger große Effikanz durch eine größere Breite kompensiert werden kann, und umgekehrt: eine geringee Breite erfordert zum Ausgleich eine größere Effikanz. In einem cartesischen Koordinatensystem mit der Breite als Abszisse und der Effikanz als Ordinate werden alle Unterrichte, die denselben direkten Unterrichtserfolg haben, durch Punkte abgebildet, welche (näherungsweise) auf derselben Hyberbel liegen.
     11.7 Anwendung auf den Sprachorientierungsunterricht.
  •  
    •

    Gut vorbereiteter, objektivierter Unterricht mathematischer, naturwissenschaftlicher und kybernetischer (kurz: "nomothetischer") Lehrstoffe erfolgt im Vergleich mit dem herkömmlichen Schulunterricht und mit universitären Lehrveranstaltungen mit ungefähr doppelter Effikanz (70% bis 80% anstelle von 30% bis 40%). Dies kommt nicht immer in einem doppelt so großen lo-garithmischen Bildungsinkrement zum Ausdruck (aus w wird also nicht w²), denn der objektivierte Unterricht dauert oft weniger lang als der Direktunterricht: die empirischen Ergebnisse, die in Bild 11.5 zusammengefaßt sind, zeigen, daß der Direktunterricht normalerweise mit einer größeren Breite als 1 erfolgt, der objektivierte Unterricht häufig mit b < 1. Die Breite des Sprachorientierungsunterrichts, wie er an Paderborner Grundschulen erteilt wurde (vgl. u.a. Geisler/Richter, 1977), erfolgte mit mehr als doppelter Breite, aber mit weniger als halber Effikanz (etwa 30% im Falle objektivierten Unterrichts, etwa 10% im Falle personalem Unterrichts - vgl. Bild 11.6 und Abschnitt 10.3). Aus diesem Grund schwankt das Bildungsinkrement w in diesem Unterrichtsbereich ebenso wie im Bereich des Unterrichts nomothetischer Fächer zwischen ungefähr 1,3 und ungefähr 2,7 (0,3 < ln w < 1,0).

    Bild 11.6: Einordnung verschiedenartiger, empirisch kontrollierter Unterrichte in das b-h-Diagramm. (Nach Frank, 1983b, S.219; 1996, S. 126.)

    Übungsaufgaben

    gleiches in ILO