PARTY

Aktuelle Verfahren zur heuristischen Graphpartitionierung basieren auf der in den vergangenen Jahren etablierten Multilevel-Methode. Sowohl die Qualität als auch die Laufzeit des Verfahren hängen von den zwei zentralen Phasen ab, dem Schrumpfen des Graphen und der sich anschließenden lokalen Verfeinerung.

Zum Vergleich der verschiedenen Umsetzungen dieser zwei Phasen wurden bisher auf einzelnen Testinstanzen, meist Graphen aus FEM Anwendungen oder große Matrizen, erzielte Ergebnisse herangezogen. Angeregt durch die Dissertationsarbeit von Ulrich Elsner [Elsner] an der TU Chemnitz haben wir in [S03] jedoch zeigen können, daß die Qualität der von allen getesteten heuristischen Graphpartitionierungswerkzeugen berechneten Lösungen je nach Wahl der Knotenreihenfolge eines Graphen bei sonst identischer Struktur stark variieren können. Aufgrund dieser Erkenntniss haben wir ein neues Evaluierungsschema vorgeschlagen, mit welchem anhand von Knotenpermutationen verlässlichere Aussagen über die Qualität der einzelnen Implementierungen gemacht werden können. Es hat sich gezeigt, dass diese Information auch während der Entwicklung sehr hilfreich sein kann, und mit Hilfe dieses Verfahrens ist es uns gelungen, den von PARTY berechneten Kantenschnitt für 2-Partitionierungen im Mittel um bis zu 20\% zu verringern, ohne die Laufzeit oder die Speicheranforderungen stark zu beeinträchtigen.

Weiterhin haben wir den Helpful-Set Algorithmus um die Möglichkeit der Berechnung von sehr unbalancierten 2-Partitionierungen erweitert. Dieses entspricht einer Anforderung aus dem TP A2. Im geringen Maße wurden unbalancierte Partitionen auch in anderen Bibliotheken eingesetzt, um mehr Spielraum für die lokale Verfeinerung zu schaffen. Im Gegensatz zu den dortigen Werten von \% erlauben die in A2 entwickelten Verfahren jedoch eine mögliche Unbalanciertheit von 66%, also einen deutlich höheren Wert. Die erzielten Ergebnisse werden in [S03a] vorgestellt und zeigen, daß PARTY vor allem bei großen erlaubten Unbalancen deutlich bessere 2-Partitionierungen berechnet als die beiden anderen state-of-the-art Implementierungen Jostle und Metis.

Um einen Graphen in mehr als zwei Partitionen zu teilen, bieten aktuelle Blibliotheken zwei verschiedene Verfahren an: Entweder wird der Graph zunächst in 2 Teile geteilt, welche dann rekursiv weiter bisektioniert werden bis die gewünschte Zahl an Partitionen erreicht ist, oder der Graph wird direkt in k Teile zerlegt. Vom theoretischen Standpunk aus bieten direkte Verfahren mehrere Vorteile. So gibt es Beispielgraphen, auf denen selbst ein optimales rekursives Verfahren viel schlechter abscheidet als ein direktes. Die direkte Variante ist dazu meist schneller, da der Graph nur einmal geschrumpft werden muss. Weiterhin ist nicht klar, wie ein rekursives Verfahren effizient auf verteilten Daten arbeiten kann. Im Gegensatz zu den theoretischen überlegungen liefern derzeit allerdings rekursive Verfahren bessere Ergebnisse als die direkten, wie in [S03b] gezeigt wurde. PARTY erzielt bei diesem Vergleich der rekursiven Verfahren zudem eine deutlich bessere Schnittqualit"at als JOSTLE und METIS, ben"otigt zur Berechnung aber etwas mehr Zeit als METIS.

Im Rahmen der momentan stattfindenen Projektgruppe werden die Grundlagen für eine parallele Version von PARTY geschaffen. Dabei geht es zunächst darum, die für das Helpful-Set Verfahren (und auch die Lastbalancierung) benötigten Operationen auf einer geeigneten, effizienten Datenstruktur zur Verfügung zu stellen. Sobald diese Aufgabe erfüllt worden ist, kann damit begonnen werden, die in PARTY vorhandenen sequentiellen Algorithmen zu parallelisieren.

Partitionierungsverfahren

Neben den auf der Multilevel-Methode basierenden Verfahren haben sich raumfüllende Kurven als alternative, koordinaten-basierte Methode etabliert. Dabei werden alle Knoten eines Graphen anhand einer fraktalen, den ganzen Raum abdeckenden Kurve angeordnet, wobei durch die fraktale Eigenschaft der Kurve sichergestellt wird, daß benachbarte Knoten nicht "allzuweit" voneinander entfernte Nummerierungen erhalten. Die so erhaltene Knotenliste muss nun nur noch an den entsprechenden Stellen aufgeteilt werden, um eine Partitionierung zu erhalten. Gerhard Zumbusch [Z01,Z01a] hat in seinen Arbeiten das Partitionierungsverhalten der Kurven in mehrdimensionalen Gittern untersucht. Er hat gezeigt, dass die erzielte Qualität in regulären und in nach bestimmten Regeln verfeinerten Gittern "quasi-optimal" ist. D.h. der Kantenschnitt ist unabhängig von der Netzgröße höchstens um einen konstanten Faktor von einer optimalen Lösung entfernt. Die Qualität der von raumfüllenden Kurven induzierten Partitionierungen irregulärer Finite-Elemente-Netze haben wir in [SW03] mit den Ergebnissen von Multilevel-Heuristiken verglichen. Erwartungsgemäß lassen sich Partitionierungen mit raumfüllenden Kurven sehr schnell und mit wenig Speicherverbrauch berechnen. Die erzielte Qualität ist bei mehr als 16 Partitionen für die meisten untersuchten Netze lediglich um den Faktor 2 schlechter, wobei bei zweidimensionalen Netzen generell bessere Partitionierungen erzielt werden als bei den dreidimensionalen. Bei geringerer Partitionsanzahl liegt der Qualitätsverlust meist zwischen dem Faktor 2 und 4. Der Vergleich unterschiedlicher raumfüllender Kurven hat gezeigt, daß die rekursiven Kurven Hilbert, Lebesgue und βΩ die besseren Ergebnisse in Gittern und verfeinerten Gittern liefern, während die Sierpinski-Kurve für stark irreguläre Netze geeigneter ist.

PadFEM

Das objektorientierte Framework PadFEM, welches zur Implementierung datenparalleler, numerischer Algorithmen auf dynamischen Graphen beziehungsweise Finite-Element-Netzen dient, wurde durch ein komplettes Redesign in verschiedene Richtungen weiterentwickelt und erweitert. Weiterhin wurde die Portierbarkeit der gesamten Bibliothek auf unterschiedliche parallele Systeme durch Unterstützung verschiedener Programmierparadigmen erleichtert. Dazu gehören MPI und Posix-Threads, d.h. es wird nun sowohl Distributed als auch Shared Memory Kommunikation unterstützt, um neue Cluster-Systeme, die meist auf Mehrprozessorsystemen basieren, effizient nutzen zu können. Die Kurven in Abbildung 1 zeigen die Effizienz der neuen Datenstruktur von PadFEM unter Ausnutzung von beiden Speichermodellen.

Abbildung 1

Als Anwendungsbeispiel wurde hier das Standard Poissonproblem in 3D auf zwei Gittern (Einheitswürfel) mit 150000 und 300000 Elementen untersucht. Dabei konnten wir unter Verwendung von 32 Prozessoren eine Effizienz von ca. 75 Prozent feststellen. Die Abbildung daneben zeigt die zugehörige Partitionierung des Würfels in 8 Partitionen. Die Tests wurden auf dem im Paderborn Center for Parallel Computing (PC²) installierten HPCLine 192 Cluster durchgeführt. Weitere Tests und Messungen werden zur Zeit auf dem im PC² neu installierten HP Itanium2 Cluster durchgeführt.

Um die Benutzbarkeit von PadFEM im industriellen Umfeld zu erleichtern, wurden Schnittstellen zu bekannten Werkzeugen entwickelt. Hier sind IDEAS, eine Software für Geometrie-Design und Netzgenerierung, verschiedene numerische Simulationsumgebungen wie CFX oder FLUENT und die Visualisierungssoftware AMIRA zu nennen.

Da PadFEM als eine offene Plattform zur Simulation von Strömungsproblemen zu sehen ist und kommerzielle Programme in der Regel lizenzrechtlich geschützt sind, ist eine Weitergabe der Software nur eingeschränkt beziehungsweise gar nicht möglich. Daher werden derzeit zwei weitere Werkzeuge als Plugin - Module für PadFEM entwickelt:

• PadMESH, eine graphische Benutzeroberfläche zur Generierung und Vernetzung dreidimensionaler Geometrien. Die Vernetzung beschränkt sich derzeit auf Tetraedierungen. PadMESH basiert auf der freien C++ Bibliothek Open-Cascade. Die dreidimensionale Adaption und Netzgenerierung mit Hilfe dieses Werkzeugs, ist derzeit in der Entwicklung.
• PadVIZ, ein Werkzeug zur graphischen Darstellung der berechneten (Strömungs-)Daten. Dieses Tool bietet ebenfalls eine graphische Benutzeroberfläche, die es dem Anwender ermöglicht, 3D Datensätze mit verschiedensten Visualisierungsmethoden, z.B. Volume-Rendering, Streamlines oder Glyphen, darzustellen und zu animieren. PadVIZ bietet zudem verschiedene Funktionalitäten während der Betrachtung von 3D Objekten beziehungsweise Strömungsdaten. Hierzu gehört das Hinein- b.z.w. Hinauszoomen, Einfärben von verschiedenen Objekten, Rotationen, und das Speichern von Animations-Sequenzen. PadVIZ basiert auf der freien Software Bibliothek VTK.

Beide Programme befinden sich derzeit in der Weiterentwicklung und Erweiterung bezüglich paralleler Techniken in den jeweiligen Bereichen. Weiterhin werden im Rahmen einer Projektgruppe algebraische Multigrid-Methoden als Alternative zu den geometrisch basierten Multigrid - Verfahren und deren Implementierung unter der parallelen Datenstruktur PadFEM untersucht.