Theorie und Numerik künstlicher Randbedingungen

Ein Ziel im letzten Förderungszeitraum war die Entwicklung von Lösungsmethoden für die Stokes-Gleichung in unbeschränkten Gebieten (Rohrsysteme) unter Verwendung künstlicher Randbedingungen

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{\begin{array}{ccc}\hfill -\Delta u+\nabla p& \hfill =\hfill & f\hfill \\ \hfill \text{div}u& \hfill =\hfill & g\hfill \end{array}\}\text{in}\Omega \subset R^3.}\\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$

Diese Art von partiellen Differentialgleichungen dienen als Modellprobleme für reale physikalische Phänomene [?], wie sie etwa bei der Umströmung von Objekten oder bei der Durchströmung von großen Kanal-Systemen auftreten.

Figure 2: Darstellung von $\Omega$ und eine Strömungsdarstellung mit PadVIZ.

Um diese Art Randwertaufgaben numerisch behandeln zu können, wird das Grundgebiet an geeigneter Stelle abgeschnitten und eine Randwertaufgabe auf dem nun mehr beschränkten Gebiet gelöst. Auf dem so genannten Abschneiderändern ${\Gamma }_{R_i},i=1,\dots N$ müssen zusätzliche künstliche Randbedingungen gestellt werden: Geht man davon aus, dass die auf dem unbeschränkten Gebiet existierende Lösung des Problems die physikalischen Eigenschaften des betrachteten Systems zufriedenstellend wiederspiegelt, so hat man für die numerische Lösung zwei Arten von Fehlern zu betrachten: den Abschneidefehler und den Diskretisierungsfehler. Der Abschneidefehler hängt dabei von der Wahl der Randbedingungen auf den künstlichen Rändern ab.

Wir haben hierzu das folgende Beispiel für numerische Testrechnungen benutzt. Gesucht ist das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld $v=(v_1,v_2,v_3)$ und der Druck $p$ zu gegebener rechter Seite $f=(f_1,f_2,f_3)$ und $h$ , welches die folgende Gleichung erfüllt

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{-\nu \Delta v+\nabla p}& =\hfill & f\text{in}{\Omega }_R\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{div}v}& =\hfill & 0\text{in}{\Omega }_R\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{M(v,p)}& =\hfill & h\text{auf}{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{v}& =\hfill & 0\text{auf}{\Gamma }_{\mathrm{LAT}}.\hfill \end{array}}$

Mit den üblichen Sobolev-Räumen $Q=H^1=H^1\left(\Omega \right)$ und $X=(H_{0,D}^1){}^3$ mit $H_{0,D}^1({\Omega }_R)=\{u\in H^1:u=0\text{auf}{\Gamma }_{\mathrm{LAT}}\text{und}{\Gamma }_D\}$ erhalten wir die folgende schwache Formulierung

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{a(v,w)+b(w,p)}& =\hfill & ⟨f,w⟩{}_{{\Omega }_R,\psi }+⟨h,w⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC},\psi }}\forall w\in X\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{b(v,q)}& =\hfill & 0\forall q\in Q,\text{mit}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{a(v,w)}& =\hfill & ⟨\nabla v,\nabla w⟩{}_{{\Omega }_R}+⟨Cv,w⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}\text{und}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{b(v,p)}& =\hfill & -⟨\text{div}v,p⟩{}_{{\Omega }_R}.\hfill \end{array}}$

Dabei ist das Skalarprodukt auf ${\Omega }_R$ wie üblich durch $⟨u,v⟩{}_{{\Omega }_R}={\int }_{{\Omega }_R}u·vdx$ bzw. das Randskalarprodukt durch $⟨u,v⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}={\int }_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}u·v\mathrm{do}$ gegeben. Weiterhin sei $\psi$ Lösung des 2D Poisson-Problems $-\Delta \psi =2\mathrm{in}{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}$ und $\psi =0$ auf dem Rand von ${\Gamma }_{\mathrm{ABC}}$ . Für $C=2(T-R){\psi }^{-}1$ sei dann $⟨Cu,v⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}=2(T-R){\int }_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}\frac{uv}{\psi }\mathrm{do}.$ . Da wir für unsere Implementation das Mini-Element benutzen, d.h. einen $P_1\times P_1$ Ansatz mit dem, um die Bubblefunktionen angereicherten Geschwindigkeitsraum, führen wir noch die Menge der Bubblefunktionen $B:=\{b\in H_0^1(T):b(x)=\alpha (T)\underset{j=1}{\overset{4}{\Pi }}{\lambda }_j(x)T\in T_h\}.$ ein. Mit $X_h$ bezeichnen wir den endlich dimensionalen Unterraum der Geschwindigkeit und mit $Q_h$ den des Druckes, wobei $X_h,Q_h$ wie folgt definiert sind:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{{\tilde{X}}_h}& :=\hfill & \{v\in (H_{0,D}^1){}^3:v|{}_T\in P_1\forall T\in T_h\},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{X_h}& :=\hfill & \{v\in (H_{0,D}^1){}^3:v|{}_T\in (P_1\oplus B){}^3\forall T\in T_h\},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{Q_h}& :=\hfill & \{q\in H^1:q|{}_T\in P_1\forall T\in T_h\},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{M_h}& :=\hfill & Q_h\subset L^2({\Omega }_R).\hfill \end{array}}$

$T$ bezeichne hier ein Element (Tetraeder) aus der Tetraedierung $T_h$ . Die Freiheitsgrade auf jedem Element $T$ sind für die Geschwindigkeit durch die Eckpunkte des Tetraeders und den Bubbleknoten gegeben. Der Druck hat seine Freiheitsgrade nur auf den Eckknoten. Da im Allgemeinen eine analytische Lösung von $\psi$ nicht vorliegt, ist es erforderlich, hierfür ebenfalls einen 2D FEM Ansatz durchzuführen.

Für das 3D-Stokes Problem lautet damit die diskrete schwache Formulierung: Gesucht ist ein Paar $(v_h,p_h)\in X_h\times M_h$ mit

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{a(v_h,w_h)+b(w_h,p_h)}& =\hfill & ⟨f,w_h⟩+⟨h,w_h⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}\forall w_h\in X_h\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{b(v_h,q_h)}& =\hfill & 0\forall q_h\in Q_h.\hfill \end{array}}$

Dabei gilt für $a$ und $b$

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{a(v_h,w_h)}& =\hfill & ⟨\nabla v_h,\nabla w_h⟩{}_{{\Omega }_R}+⟨v_h,w_h⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}},{\psi }_h}\text{und}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{b(v_h,q_h)}& =\hfill & -⟨\text{div}{v}_h,q_h⟩{}_{{\Omega }_R},\hfill \end{array}}$

mit

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{⟨v_h,w_h⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}},{\psi }_h}=2(T-R){\int }_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}}}\frac{v_h{w}_h}{{\psi }_h}\mathrm{do}.}\end{array}}$

Nach Anwendung einer Petrov-Galerkin Stabilisierung kann das Problem wie folgt formuliert werden: Gesucht ist das Paar $(v_h,p_h)\in {\tilde{X}}_h\times M_h$ für das gilt:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{⟨\nabla v_{h,L},\nabla w_{h,L}⟩{}_{{\Omega }_R}}& +\hfill & ⟨v_{h,L},w_{h,L}⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}},{\psi }_h}-⟨p_h,\text{div}{w}_{h,L}⟩{}_{{\Omega }_R}\forall w_{h,L}\in {\tilde{X}}_h\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & =⟨f,w_{h,L}⟩{}_{{\Omega }_R}+⟨h,w_{h,L}⟩{}_{{\Gamma }_{\mathrm{ABC}},{\psi }_h}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{⟨q_h,\text{div}{v}_{h,L}⟩{}_{{\Omega }_R}}& +\hfill & \sum _{T\in T_h}{\alpha }_2⟨\nabla p_h,\nabla q_h⟩{}_T=\sum _{T\in T_h}{\alpha }_2⟨f,\nabla q_n⟩{}_{{\Omega }_R}\forall q_h\in Q_h.\hfill \end{array}}$

Die Matrizen $A,B,B^t$ und $C$ des zugehörigen Gleichungssystems

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B^t\hfill \\ \hfill B\hfill & \hfill C\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill v\hfill \\ \hfill p\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill f\hfill \\ \hfill g\hfill \end{array}\right)}$

ergeben sich durch Summation über alle Tetraederelemente wie folgt:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{A_k}& \equiv \hfill & \sum _{\tau \in T}\sum _{i=1}^4\nu ⟨\nabla {\varphi }_{N,i}^k,\nabla {\varphi }_{N,j}^k⟩{}_{\tau }+2(T-R)\sum _{i=1}^3\frac{\left|F\right|{}^3}{3}\sum _{l=1}^3(\zeta (m_E))\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{B_k}& \equiv \hfill & \sum _{\tau \in T}=-⟨\frac{\partial }{\partial x_k}{\varphi }_{N,i}^k,{\psi }_j⟩{}_{\tau },C\equiv \sum _{\tau \in T}{\alpha }_{\tau }⟨\nabla {\psi }_i,\nabla {\psi }_j⟩{}_{\tau }.\hfill \end{array}}$

Die Matrix $A$ besteht dabei aus einer Diagonalmatrix der Matrizen $A_k$ und $B$ bzw. $B^t$ aus dem Vektor der Matrizen $B_k$ für $k=1,2,3$ . In den numerischen Test-Rechnungen konnten wir feststellen das sich bei Rohrströmungen die künstliche Randbedingung stabiler gegenüber den gewöhnlichen Randbedingungen verhält. In den Abbildungen 3-6 ist ein Vergleich zwischen dem exakten Druck und dem berechneten Druck zu sehen. Im Dirichlet Fall ist der Druck, wie zu erwarten war, nur um eine Konstante verschoben. Im Neumann Fall hingegen liegt der Druck zwar im richtigen Niveau, weist aber leichte Störungen im Ein- und Ausflußbereich auf. Der Druck im Fall der dritten Randwertaufgabe liegt exakt auf dem analytischen Druck ohne Störungen am Ein- bzw. Ausflußrand. Da der Druck als Vorgabe nur linear in x-Richtung ist stellen wir auch nur dessen Verlauf dar. Die letzte Abbildung soll zeigen, daß der Druck auch im Raum konstant liegt. Eine detaillierte Beschreibung zu der Numerik künstlicher Randbedingungen ist in [?] beschrieben. Die in dieser Arbeit beschriebenen Verfahren wurden in die Simulationsumgebung PadFEM integriert.

Abbildung 3 und 4: Vergleich des Druckes in der ABC und der Neumann-Rechnung Figure 5 und 6: Vergleich des Druckes in der Dirichlet-Rechnung und Vergleich des Druckes (3D Ansicht)

Numerische Berechnung von Stofftransport

Im Rahmen einer Kooperation mit der Technischen Chemie Paderborn haben wir an der Unterstützung von Direkten Numerischen Simulationen (DNS) auf der Basis von Finite Element und Finite Volumen Methoden gearbeitet. Ein Fernziel dieser Kooperation ist die Gewinnung von Schließungstermen aus hoch auflösenden DNS Rechnungen. Diese sollen anschließend zur Erstellung vereinfachter Modelle zur Berechnung von Mischvorgängen in Mikroreaktoren eingesetzt werden. In diesem Umfeld erzielte die AG Monien und AG Warnecke den Forschungspreis 2002 der Universität Paderborn mit dem Titel "Prozessintensivierung der Polymerherstellung durch Vernetzung innovativer Methoden aus Naturwissenschaft und Informationstechnologie" [?]. Als Vorarbeiten für den kommenden Förderungszeitraum wurden bereits Mischvorgänge in Rohr-Systemen mit Hilfe der instationären Navier-Stokes Gleichung unter Hinzunahme von Spezies-Gleichungen berechnet. Im Fall dichtebeständiger Fluide führt dies in dimensionsloser Formulierung auf die folgende Form:

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{(\nabla ·u)=0,\frac{\partial }{\partial t}u+(u·\nabla )u=\frac{1}{\mathrm{Re}}\Delta u+\nabla p}\\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$

mit der dimensionslosen Reynoldszahl $\mathrm{Re}=\mathrm{uL}/\nu$ . Der Stofftransport einer molaren Spezies $c$ wird dabei durch die Speziesgleichung

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}c+(u·\nabla )c=\frac{1}{\mathrm{Re}\mathrm{Sc}}\Delta c}$

beschrieben. Dabei ist $\mathrm{Sc}=\nu /D$ die zugehörige Schmidt-Zahl. Erste Rechnungen konnten bereits parallel durchgeführt werden. Abbildung 7 zeigt die Durchströmung eines T-Stücks mit Speziesverteilung auf 32 Partitionen. Dem Rohr wurde während der Strömungsberechnung (Wasser=blau) eine Spezies $c$ (Konzentration der Spezies von rot nach gelb) durch den unteren Einlauf zugeführt. In der dargestellten Visualisierung wird die Stoffverteilung zu einem Zeitpunkt $t$ dargestellt. Die Simulationen werden mit regulär verfeinerten bzw. statischen adaptiven Netzen berechnet, anschließend verglichen und validiert.

Figure 7: Partitionierung eines T-Mischers und die Darstellung einer Speziesverteilung

Die Validierung der erzielten Ergebnisse wird anhand von Gegenrechnungen mit dem kommerziellen Tool FLUENT und experimentellen Daten aus der Technischen Chemie durchgeführt.