In diesem Teilprojekt liegt der Schwerpunkt auf der Entwicklung von Techniken zur statischen und dynamischen Lastverteilung, die die effiziente Balancierung sich dynamisch ändernder Netze erlauben. Bei einer sich dynamisch verändernden Lastsituation verfolgen wir zwei unterschiedliche Lösungsansätze. Zum einen kann man durch wiederholte Neupartitionierung des dynamischen Netzes zu diskreten Zeitpunkten eine neue Aufteilung ermitteln. Die zweite Strategie basiert auf einem lokalen Lastausgleich, bei dem die Datenmigration gegenüber der Neupartitionierungsstrategie gering gehalten wird. Dabei ist die Aufteilung in den meisten Fällen von geringerer Qualität.

Aus der Analyse der entsprechend dieser Strategien entwickelten Verfahren ergeben sich vielfältige theoretische Einzelfragestellungen. Eine dieser Fragestellungen beschäftigt sich mit unteren und oberen Schranken bzgl. der k-Sektionsweite von Graphen. Eine klassische untere Schranken Methode basiert auf einem spektralen Ansatz. Sei G=(V,E) ein Graph mit n Knoten und $\sigma$ die k-Sektionsweite. Dann wird die klassische spektrale Schranke durch die Ungleichung $\sigma \ge \frac{n}{2k}{\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i$ ausgedrückt, wobei ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ die ersten k Eigenwerte der zugehörigen Laplace Matrix sind.

Diese Schranke ist für eine sehr kleine Anzahl von Graphen scharf. Im allgemeinen existiert eine zum Teil quadratische Lücke zwischen der k-Sektionsweite eines Graphen und der oben angegebenen unteren Schranke. Wir haben diese Lücke für eine breite Klasse von Graphen schließen können, indem wir die Struktureigenschaften der Graphen ausgenutzt haben. Dabei haben wir zeigen können, daß unter der Voraussetzung gewisser struktureller Eigenschaften, die untere Schranke asymptotisch verbessert werden kann und das diese neuen Schranken für viele wichtigen Graphklassen (wie z.B. gitterähnliche Topologien) wiederum scharf sind [ELM01]. Desweiteren haben wir in [ELM03] Graphklassen definiert, für die wir durch die Berechnung ihrer Eigenwerte, die Lücke zwischen der oberen und unteren Schranke für die k-Sektionsweite dieser Graphen weiter verringern konnten.

In einem weiteren Papier [EM03] haben wir neue Schranken für die Kanten- und Knotenexpansion von Graphen berechnet. Dabei haben wir auf die Erkenntnisse der Zusammenhänge zwischen der Konvergenzgeschwindigkeit von Diffusionsverfahren und den spektralen und strukturellen Eigenschaften von Graphen zurückgegriffen. Die neu berechneten Schranken stellen für viele Graphklassen eine Verbesserung gegenüber den klassischen spektralen Schranken dar.

Eine weitere grundlegende Frage, die wir untersucht haben, ist die Bestimmung der Bisektionsweite regulärer Graphen mit kleinem Knotengrad. In [MP01] konnten wir die Bisektionsweiten 4-regulärer Graphen verbessern. Diese Verbesserungen haben wir durch die Anwendung der von uns in einer früheren Förderungsphase entwickelten Helpful-Set Methode erreicht.

Eine weitere grundlegende Frage, die wir untersucht haben, ist die Bestimmung der Bisektionsweite regulärer Graphen mit kleinem Knotengrad. In [MP01] konnten wir die Bisektionsweiten 3- und 4- regulärer Graphen verbessern. Diese Verbesserungen haben wir durch die Anwendung der von uns in einer früheren Förderungsphase entwickelten Helpful-Set Methode erreicht.

Ein allgemeineres Bisektionsproblem wurde von uns in [BE01, BE03] betrachtet und zwar das Problem der Minimierung der Schnittkanten zwischen zwei Teilmengen der Knoten eines Graphen, wobei die Anzahl der Knoten in einer Teilmenge einen beliebigen aber festen Wert annehmen kann. In diesen Arbeiten haben wir dieses Problem mit Hilfe kombinatorischer und graphentheoretischer Ansätze für die kartesischen Produkte von regulären dichten Graphen gelöst.

Ein wichtiger Ansatz zur parallelen (verteilten) Balancierung dynamischer Netze stellen lokale Verfahren wie Diffusion dar. Diffusionsverfahren benutzen bekannte Iterationsmethoden aus der linearen Algebra zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Die Konvergenzgeschwindigkeit solcher Verfahren läßt sich durch die Konditionszahl der Laplace Matrix der zugehörigen Netzwerk-Graphen abschätzen. In der vorangegangenen Förderungsphase haben wir einen wichtigen Beitrag auf dem Gebiet der Diffusionsverfahren geleistet. Im jetzigen Berichtszeitraum wurden neue Ergebnisse veröffentlicht, die den Einsatz bekannter Diffusionsverfahren auf heterogenen Systemen beschreiben [EMP02].

Wir haben uns zudem mit der Konstruktion optimaler Diffusionsmatritzen zu gegebenen wichtigen Netzwerktopologien beschäftigt. Dabei heißt eine Diffusionsmatrix optimal für einen Graphen G, wenn das durch diese Matrix definierte Diffusionsverfahren unter allen Matrizen mit der Verbindungsstruktur von G am schnellsten konvergiert. Wir konnten zeigen, daß in einer optimalen Diffusionsmatrix eines kantensymmetrischen Graphen alle Kantengewichte gleich sein müssen. Darüber hinaus haben wir die optimalen Kantengewichte für bekannte Netzwerke wie Cube-Connected-Cycles, Butterfly und DeBruijn berechnet [EMRS02].

Im vorletzten Förderungszeitraum wurden von uns lokale Iterationsverfahren entwickelt, die in m-1 Iterationsschritten mit lokaler Kommunikation die Last in einem Prozessornetzwerk balancieren, wobei m die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte der Laplace Matrix des Netzwerk-Graphen ist. In einem Bus-System kann prinzipiell jeder Prozessor mit jedem kommunizieren, jedoch ist es ratsam, die Anzahl der Aufsetzzeiten dadurch zu verringern, daß jeder Prozessor nur mit wenigen anderen kommuniziert. Die durch dieses Kommunikationsmuster erzeugte Topologie ist dann das virtuelle Netzwerk für die Lastbalancierung.

Motiviert durch diesen Erkenntnisgewinn haben wir in einer weiteren Arbeit sogenannte "gute" Netzwerke konstruiert, die sich besonders gut für Lastverteilungsprobleme eignen. Für die von uns entwickelten Iterationsverfahren garantieren Toplogien mit einem kleinen Grad, einer kleinen Anzahl von Eigenwerten und einem kleinen Durchmesser den geringsten Aufwand für die Lastbalancierung. Die Frage hierbei ist: "Bestimme für eine gegebene Knotenanzahl und einen gegebenen Knotengrad einen Graphen mit der kleinsten Anzahl von Eigenwerten". Hier stellen sich die Moore Graphen und die minimalen Cages als sehr günstig heraus. Es existieren allerdings davon für einen festen Grad nur begrenzt viele Graphen.

Wir haben in [EKM01,EKM03] für jedes $n\in \mathbb{N}$ einen Graphen konstruiert, der einen kleinen Knotengrad und wenige Eigenwerte besitzt [EKM01]. Diese Ansätze wurden weiter verfolgt und durch die Ausdehnung dieser Methoden auf kantengewichtete Graphen haben wir die Ergebnisse aus [EKM01] in [EKM03] weiter verbessert, so daß ein asymptotisch optimaler Wert für die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte von Adjazenzmatrizen erreicht werden konnte.

Wir haben anschliessend das Verhalten lokaler Verfahren auf dynamischen Netzen untersucht. Dabei konnten wir zeigen, daß sich die einfachen Diffusionsverfahren auf solche Netzwerke übertragen lassen, wobei die Konvergenzgeschwindigkeit von der mittleren Konditionszahl der während der Iterationen auftretenden Laplace Matrizen abhängt [EMS03].

Eine sehr wichtige Fragestellung auf dem Gebiet der dynamischen Lastverteilung stellt das Lastbalancierungsproblem von unzerlegbaren Lasteinheiten dar. Es ist bekannt, daß das Diffusionsschemata die Gesamtlast nicht vollständig ausgleichen kann und unter Umständen der Fehler sehr groß wird. Wir haben in [EM03] ein randomisiertes Verfahren beschrieben, und mit Hilfe dieses Verfahrens den Fehler bzgl. der $l_2$ -Norm minimiert. Dabei verschlechterte sich allerdings die Laufzeit um einen Faktor von $O(log(log\left(n\right)\left)\right)$ , wobei n die Anzahl der Prozessoren im System darstellt.

In den meisten Anwendungen wird die Lastbalancierung in zwei Phasen durchgeführt. In der ersten Phase wird ein balancierender Fluß berechnet, wozu sich die vorher beschriebenen Diffusionsalgorithmen besonders gut eignen. In der zweiten Phase wird ein Scheduling des Flusses ermittelt. Diese Scheduling-Phase wird benötigt, da in den meisten Fällen nicht jeder Knoten den Flussanforderungen seiner inzidenten Kanten in einem Schritt nachkommen kann.

In diesem Teilprojekt haben wir Algorithmen entwickelt, die auf bestimmten Flussgraphen ein Scheduling ermöglichen, das um einen Faktor von 2 vom optimalen Scheduling entfernt ist [LMR02]. Zudem haben wir gezeigt, daß jeder Schedulingalgorithmus im worst-case mindestens um einen Faktor von 3/2 vom Optimum entfernt ist.

In der Arbeit [Rode] wurden verschiedene Verfahren zur Lastbalancierung in verteilten Systemen gegenübergestellt. Für das Dimension Exchange- und das Diffusionsverfahren auf dem dreidimensionalen Hypercube wurde eine obere Schranke für die Abweichung der Knotenflussnormen bewiesen. Durch experimentelle Messungen auf einem SCI-Cluster wurden Dimension Exchange, Diffusion und ein anderes Verfahren unter Zugrundelegung verschiedener Topologien verglichen. Insbesondere wurde der Einfluß der Verfahren auf die Flussberechnung einerseits und die Flussumsetzung andererseits unter Berücksichtigung der Charakteristiken des SCI-Clusters untersucht.